백색 잡음

3. 수학적 정의

확률 벡터(즉, ''Rⁿ''의 값을 갖는 확률 변수)의 각 요소가 0의 평균과 유한한 분산을 가지며,^[19] 서로 통계적 독립인 경우, 해당 확률 벡터를 백색 잡음 벡터 또는 백색 확률 벡터라고 한다. 즉, 구성 요소의 결합 확률 분포는 개별 구성 요소의 분포의 곱이어야 한다.^[19]

두 변수의 통계적 독립을 위한 필요 조건(하지만 일반적으로 충분하지 않은 조건)은 상관 관계가 없어야 하는 것이다. 즉, 공분산이 0이어야 한다. 따라서, ''n''개의 요소를 가진 백색 잡음 벡터 ''w'' 구성 요소의 공분산 행렬 ''R''은 각 대각선 요소 ''R_ii''가 구성 요소 ''w_i''의 분산인 ''n''x''n'' 대각 행렬이어야 하며, 상관 행렬은 ''n''x''n'' 항등 행렬이어야 한다.

''w''의 모든 변수가 0의 평균과 동일한 분산 $\backslash sigma^2$를 갖는 정규 분포를 가질 뿐만 아니라 독립인 경우, ''w''를 가우시안 백색 잡음 벡터라고 한다. 이 경우, ''w''의 결합 분포는 다변량 정규 분포이며, 변수 간의 독립성은 분포가 ''n''차원 공간에서 구형 대칭을 갖는다는 것을 의미한다. 따라서 벡터의 모든 직교 변환은 가우시안 백색 임의 벡터를 생성한다. 특히, FFT 및 하틀리와 같은 대부분 유형의 이산 푸리에 변환에서 ''w''의 변환 ''W''도 가우시안 백색 잡음 벡터가 된다. 즉, ''w''의 ''n''개 푸리에 계수는 0의 평균과 동일한 분산 $\backslash sigma^2$를 갖는 독립적인 가우시안 변수가 된다.

임의 벡터 ''w''의 전력 스펙트럼 ''P''는 푸리에 변환 ''W''의 각 계수의 제곱된 절대값의 기대값으로 정의할 수 있다. 즉, ''P_i'' = E(|''W_i''|²). 해당 정의에 따르면, 가우시안 백색 잡음 벡터는 모든 ''i''에 대해 ''P_i'' = ''σ''²를 갖는 완벽하게 평평한 전력 스펙트럼을 갖는다.

''w''가 백색 임의 벡터이지만 가우시안이 아닌 경우, 푸리에 계수 ''W_i''는 서로 완전히 독립적이지 않다. 비록 큰 ''n''과 일반적인 확률 분포의 경우 종속성이 매우 미묘하고, 쌍별 상관 관계가 0이라고 가정할 수 있다.

통계적 독립 대신에 통계적으로 상관관계가 없다는 약한 조건이 백색 잡음의 정의에 종종 사용된다. 그러나 평평한 전력 스펙트럼과 같이 백색 잡음의 일반적인 기대 속성의 일부가 이 약한 버전에서는 적용되지 않을 수 있다. 이 가정을 통해 더 엄격한 버전을 독립 백색 잡음 벡터라고 명시적으로 지칭할 수 있다.^[20] 다른 저자는 강력한 백색 및 약한 백색을 사용한다.^[21]

약한 의미에서 가우시안 백색 잡음이지만 강한 의미에서는 가우시안 백색 잡음이 아닌 임의 벡터의 예는 $x=[x\_1,x\_2]$이다. 여기서 $x\_1$은 0의 평균을 갖는 정규 확률 변수이고, $x\_2$는 동일한 확률로 $+x\_1$ 또는 $-x\_1$과 같다. 이 두 변수는 상관관계가 없으며 개별적으로 정규 분포를 따르지만, 결합적으로 정규 분포를 따르지 않으며 독립적이지 않다. $x$를 45도 회전하면, 두 구성 요소는 여전히 상관관계가 없지만 분포는 더 이상 정규 분포를 따르지 않는다.

어떤 상황에서는 백색 임의 벡터 $w$의 각 구성 요소가 0이 아닌 기대값 $\backslash mu$를 갖도록 함으로써 정의를 완화할 수 있다. 특히 이미지 처리에서는 샘플이 일반적으로 양수 값으로 제한되므로, 종종 $\backslash mu$를 최대 샘플 값의 절반으로 간주한다. 이 경우, 0 주파수 구성 요소(기본적으로, $w\_i$의 평균)에 해당하는 푸리에 계수 $W\_0$도 0이 아닌 기대값 $\backslash mu\backslash sqrt\{n\}$을 가지며, 전력 스펙트럼 $P$는 0이 아닌 주파수에서만 평평하다.

이산 시간 확률 과정 $W(n)$은 유한한 수의 성분을 갖는 랜덤 벡터를 무한히 많은 성분으로 일반화한 것이다. 이산 시간 확률 과정 $W(n)$의 평균이 모든 $n$에 대해 0과 같고, 즉 $\backslash operatorname\{E\}[W(n)]\; =\; 0$이며 자기상관 함수 $R\_\{W\}(n)\; =\; \backslash operatorname\{E\}[W(k+n)W(k)]$가 $n\; =\; 0$일 때만 0이 아닌 값을 갖는 경우, 즉 $R\_\{W\}(n)\; =\; \backslash sigma^2\; \backslash delta(n)$인 경우 백색 잡음이라고 한다.

연속 시간 신호 이론에서 백색 잡음의 개념을 정의하기 위해서는, 확률 벡터의 개념을 연속 시간 확률 신호로 대체해야 한다. 즉, 실수 값을 갖는 매개변수 $t$의 함수 $w$를 생성하는 확률 과정이다.

이러한 과정은 임의의 시간 $t$에 대한 값 $w(t)$가 $t$ 이전의 전체 이력과 통계적으로 독립적인 확률 변수일 경우, 가장 강력한 의미에서 백색 잡음이라고 한다. 더 약한 정의는 모든 서로 다른 시간 $t\_1$과 $t\_2$에서 값 $w(t\_1)$과 $w(t\_2)$ 사이의 독립성만을 요구한다. 훨씬 더 약한 정의는 이러한 쌍 $w(t\_1)$과 $w(t\_2)$가 상관관계가 없기만 하면 된다.^[22] 이산적인 경우와 마찬가지로, 일부 저자는 백색 잡음에 대해 더 약한 정의를 채택하고, 더 강력한 정의 중 하나를 지칭하기 위해 독립이라는 수식어를 사용한다. 다른 사람들은 약한 백색과 강한 백색을 사용하여 이를 구별한다.

그러나 이러한 개념에 대한 정확한 정의는 사소하지 않다. 왜냐하면 유한 이산적인 경우에 유한 합인 일부 양이 수렴하지 않을 수 있는 적분으로 대체되어야 하기 때문이다. 실제로 신호 $w$의 모든 가능한 인스턴스 집합은 더 이상 유한 차원 공간 $\backslash mathbb\{R\}^n$이 아니라 무한 차원 함수 공간이다. 또한 어떤 정의에 의해서든 백색 잡음 신호 $w$는 본질적으로 모든 지점에서 불연속적이어야 하므로, 유한 구간에 대한 적분과 같이 $w$에 대한 가장 간단한 연산조차도 고급 수학적 기법이 필요하다.

일부 저자는 각 값 $w(t)$가 기대값 $\backslash mu$와 유한 분산 $\backslash sigma^2$을 갖는 실수 값 확률 변수여야 한다고 요구한다. 그러면 두 시점 $t\_1$과 $t\_2$에서의 값 간의 공분산 $\backslash mathrm\{E\}(w(t\_1)\backslash cdot\; w(t\_2))$는 잘 정의된다. 즉, 시간이 다르면 0이고, 같으면 $\backslash sigma^2$이다. 그러나 이 정의에 따르면,

: $W\_\{[a,a+r]\}\; =\; \backslash int\_a^\{a+r\}\; w(t)\backslash ,\; dt$

과 같은 양의 폭 $r$을 가진 구간에 대한 적분은 단순히 폭에 기대값을 곱한 $r\backslash mu$가 될 것이다. 이러한 속성은 물리적 또는 수학적 의미에서 백색 잡음 신호의 모델로서는 부적절하게 만든다.

따라서 대부분의 저자는 각 구간 $[a,a+r]$에 대한 $w(t)$와 $|w(t)|^2$의 적분에 대한 임의의 값을 지정하여 간접적으로 신호 $w$를 정의한다. 그러나 이 접근 방식에서는 고립된 시간에서의 $w(t)$의 값을 실수 값 확률 변수로 정의할 수 없다. 또한 공분산 $\backslash mathrm\{E\}(w(t\_1)\backslash cdot\; w(t\_2))$는 $t\_1=t\_2$일 때 무한대가 된다. 그리고 자기상관 함수 $\backslash mathrm\{R\}(t\_1,t\_2)$는 $N\; \backslash delta(t\_1-t\_2)$로 정의해야 하며, 여기서 $N$은 어떤 실수 상수이고 $\backslash delta$는 디랙 델타 함수이다.

이러한 접근 방식에서는 일반적으로 구간 $I=[a,b]$에 대한 $w(t)$의 적분 $W\_I$가 정규 분포, 평균 0, 분산 $(b-a)\backslash sigma^2$을 갖는 실수 확률 변수이고, 또한 적분 $W\_I$, $W\_J$의 공분산 $\backslash mathrm\{E\}(W\_I\backslash cdot\; W\_J)$가 두 구간 $I,J$의 교차점 $I\backslash cap\; J$의 폭 $r$에 $r\backslash sigma^2$가 되도록 지정한다. 이 모델을 가우스 백색 잡음 신호(또는 과정)라고 한다.

백색 잡음 분석으로 알려진 수학 분야에서, 가우스 백색 잡음 $w$는 확률적 템퍼링된 분포, 즉 템퍼링된 분포의 공간 $\backslash mathcal\; S\text{'}(\backslash mathbb\; R)$의 값을 갖는 확률 변수로 정의된다. 유한 차원 확률 벡터의 경우와 유사하게, 무한 차원 공간 $\backslash mathcal\; S\text{'}(\backslash mathbb\; R)$에 대한 확률 법칙은 특성 함수를 통해 정의될 수 있다(존재 및 유일성은 보흐너-민로스 정리를 확장하여 보장되며, 보흐너-민로스-사자노프 정리라고 한다). 다변량 정규 분포 $X\; \backslash sim\; \backslash mathcal\; N\_n\; (\backslash mu\; ,\; \backslash Sigma\; )$의 경우와 유사하게, 특성 함수는 다음과 같다.

: $\backslash forall\; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\; R^n:\; \backslash quad\; \backslash mathrm\{E\}(\backslash mathrm\; e^\{\backslash mathrm\{i\}\; \backslash langle\; k,\; X\; \backslash rangle\; \})\; =\; \backslash mathrm\; e^\{\backslash mathrm\; i\; \backslash langle\; k,\; \backslash mu\; \backslash rangle\; -\; \backslash frac\; 1\; 2\; \backslash langle\; k,\; \backslash Sigma\; k\; \backslash rangle\; \}\; ,$

백색 잡음 $w\; :\; \backslash Omega\; \backslash to\; \backslash mathcal\; S\text{'}(\backslash mathbb\; R)$은 다음을 만족해야 한다.

: $\backslash forall\; \backslash varphi\; \backslash in\; \backslash mathcal\; S\; (\backslash mathbb\; R)\; :\; \backslash quad\; \backslash mathrm\{E\}(\backslash mathrm\; e^\{\backslash mathrm\{i\}\; \backslash langle\; w,\; \backslash varphi\; \backslash rangle\; \})\; =\; \backslash mathrm\; e^\{-\; \backslash frac\; 1\; 2\; \backslash |\; \backslash varphi\; \backslash |\_2^2\},$

여기서 $\backslash langle\; w,\; \backslash varphi\; \backslash rangle$는 템퍼링된 분포 $w(\backslash omega)$와 스와르츠 함수 $\backslash varphi$의 자연 쌍을 의미하며, $\backslash omega\; \backslash in\; \backslash Omega$에 대해 시나리오별로 취해지고, $\backslash |\; \backslash varphi\; \backslash |\_2^2\; =\; \backslash int\_\{\backslash mathbb\; R\}\; \backslash vert\; \backslash varphi\; (x)\; \backslash vert^2\backslash ,\backslash mathrm\; d\; x$이다.

다음 두 조건을 만족하는 ''w''(''t'')를 '''백색 잡음'''으로 정의한다.

• $\backslash mu\; =\; E[w(t)]\; =\; 0$
• $R(t\_\{1\},\; t\_\{2\})\; =\; E[w(t\_\{1\})\; w(t\_\{2\})]\; =\; \backslash sigma^\{2\}\backslash delta(t\_\{1\}\; -\; t\_\{2\})$

• $|W(\backslash omega)|^\{2\}\; =\; \backslash sigma^\{2\}$

• $\backslash mu\; =\; E[\backslash boldsymbol\{w\}]\; =\; 0$
• $\backslash boldsymbol\{R\}\; =\; E[\backslash boldsymbol\{w\}\; \backslash boldsymbol\{w\}^\{T\}]\; =\; \backslash sigma^\{2\}\backslash boldsymbol\{I\}$

4. 응용 분야

백색 잡음은 전자 음악 제작에 일반적으로 사용되며, 직접 사용되거나 다른 유형의 잡음 신호를 만들기 위한 필터의 입력으로 사용된다. 오디오 신스시스에서 광범위하게 사용되며, 주파수 영역에 높은 잡음 성분을 가진 심벌즈나 스네어 드럼과 같은 타악기를 재현하는 데 사용된다.^[8]

백색 잡음은 전기 회로, 특히 증폭기 및 기타 오디오 장비의 임펄스 응답을 얻는 데에도 사용된다. 각 옥타브에서 동일한 에너지를 갖는다는 점에서 백색 잡음과 다른 핑크 노이즈는 스피커 및 마이크와 같은 변환기를 테스트하는 데 사용된다.

백색 잡음은 일부 하드웨어 난수 생성기의 기반으로 사용된다. 예를 들어, Random.org는 대기 안테나 시스템을 사용하여 백색 잡음으로 잘 모델링될 수 있는 소스에서 임의의 숫자 패턴을 생성한다.^[9]

백색 잡음은 이명 마스커에 의해 소리 마스킹에 사용되는 일반적인 합성 잡음원이다.^[10] 백색 잡음 발생기 및 기타 백색 잡음원은 개인 정보 보호 강화 장치 및 수면 보조제(음악과 수면 참조)로 판매되며 이명을 가리는 데 사용된다.^[11] 최초의 가정용 백색 잡음 발생기는 1962년 여행 세일즈맨 짐 벅월터가 제작한 Marpac Sleep-Mate였다.^[12]

백색 잡음이 인지 기능에 미치는 영향은 엇갈린다. 최근의 소규모 연구에 따르면 백색 잡음 배경 자극은 주의력 결핍 과잉 행동 장애(ADHD)를 겪는 중등학생의 인지 기능을 향상시키는 반면, ADHD가 없는 학생의 수행 능력은 감소시켰다.^[14][15] 다른 연구에서는 백색 잡음이 사무실 배경 소음을 가려 근로자의 기분과 업무 능력을 향상시키는 데 효과적이지만,^[16] 복잡한 카드 분류 작업에서는 인지 능력을 저하시킨다고 한다.^[17]

66명의 건강한 참가자를 대상으로 학습 환경에서 백색 잡음을 사용하는 것의 이점을 관찰하기 위한 실험이 수행되었다. 이 실험은 참가자들이 배경에서 다른 소리를 들으면서 다른 이미지를 식별하는 방식으로 진행되었다. 실험 결과 백색 잡음이 참가자의 학습 능력과 인지 기억력을 약간 향상시키는 것으로 나타났다.^[18]

5. 생성 방법

백색 잡음은 디지털 신호 처리기, 마이크로프로세서, 마이크로컨트롤러를 사용하여 디지털 방식으로 생성될 수 있다. 백색 잡음을 생성하는 것은 일반적으로 적절한 무작위 숫자 스트림을 디지털-아날로그 변환기에 공급하는 것을 수반한다. 백색 잡음의 품질은 사용된 알고리즘의 품질에 따라 달라진다.^[23]

실제로는 정규 난수를 백색 잡음으로 이용한다. 이때 가우스성도 만족하므로, 백색 가우시안 잡음이 된다.

엑셀의 분석 도구를 사용하여 정규 난수를 생성할 수 있다.

6. 비공식적 사용

백색 잡음이라는 용어는 주변 소리의 배경을 묘사하는 구어로 사용되어, 모호하거나 매끄러운 소란을 만들어낸다. 다음은 몇 가지 예시이다.

• 좁은 공간의 음향 내에서 여러 대화가 오가는 소리.
• 정치인들이 주목받고 싶지 않은 점을 감추기 위해 사용하는 중언부언적인 전문 용어.^[24]
• 멜로디 없이 불쾌하고, 거칠고, 불협화음이거나 불협화음인 음악.

참조

_[1] 서적 Op Amps for Everyone Texas Instruments
_[2] 서적 Interpolation of Spatial Data: Some Theory for Kriging Springer 1999
_[3] 서적 Interpolation of Spatial Data: Some Theory for Kriging Springer 1999
_[4] 서적 Elements of Forecasting
_[5] 간행물 Developmental trait evolution in trilobites
_[6] 뉴스 The political rhetoric on Social Security is white noise. ABC's Good Morning America 2005-01-11
_[7] 서적 White Noise 1985
_[8] 웹사이트 Did you know all these white noise secrets? (music production tips) https://www.learnhow[...] 2022-07-25
_[9] 뉴스 Lottery Numbers and Books With a Voice https://www.nytimes.[...] The New York Times 2022-07-25
_[10] 서적 Tinnitus Handbook Singular
_[11] 간행물 Evidence based complementary intervention for insomnia http://cogprints.org[...] 2002-09
_[12] 뉴스 The Sound of Silence https://www.nytimes.[...] The New York Times 2021-05-20
_[13] 간행물 Tinnitus. Diagnosis and treatment of this elusive symptom 2003-02
_[14] 간행물 The effects of background white noise on memory performance in inattentive school children
_[15] 간행물 Listen to the noise: Noise is beneficial for cognitive performance in ADHD.
_[16] 간행물 Cognitive and Arousal Effects of Masking Office Noise 1992-05-01
_[17] 간행물 The effects of noise and speech on cognitive task performance. 1993-07
_[18] 문서 White noise improves learning by modulating activity in dopaminergic midbrain regions and right superior temporal sulcus 2014
_[19] 문서 On Transformations of Random Vectors. https://web.archive.[...] 1998
_[20] 문서 Modeling Financial Time Series with S-PLUS http://faculty.washi[...] 2006
_[21] 문서 Elements of Forecasting https://www.sas.upen[...] 2007
_[22] 웹사이트 White noise process http://economics.abo[...] Econterms via About.com 2013-02-12
_[23] 웹사이트 How to Generate White Gaussian Noise https://qualityassig[...] 2012-09-19
_[24] 웹사이트 white noise https://www.merriam-[...] Merriam-Webster 2022-05-06
_[25] 문서 理論上、直流から無限大Hzまで全て含む、といったような連続的な信号は存在し得ない（ステップ信号のような一過的現象では異なる）ので、実際の所、可聴周波数域とか可視領域などを対象として議論することになる。
_[26] 문서 人間の視覚の特性上、RGBがあればそれぞれに集中していても白く見せることはできるので、逆は真ではない。
_[27] 문서 「ノイズ」という語は音以外のあらゆる信号類に混入する非信号成分を指して使われるため、文脈を見ずに機械的に訳すと誤訳を招く。